공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 방정식 성분

문제

(A+E)2=A( A + E ) ^{2} = A를 만족시키는 이차정사각행렬 AA와 행렬 (pq)\displaystyle \begin{pmatrix} {p} \\ {q} \end{pmatrix}에 대하여 (A+A−1)(pq)=(3−7)\displaystyle ( A + A ^{- 1} ) {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 3 \\ - 7 \end{pmatrix}}이 성립할 때, p2+q2p ^{2} + q ^{2}의 값을 구하시오. (단, EE는 단위행렬이다.) [3점]

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해설

A2+A+E=0⋯⋯㉠A ^{2} + A + E = 0 \cdots \cdots \text{㉠} (A+A−1)(pq)=(3−7)⋯⋯㉡\displaystyle ( A + A ^{- 1} ) {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 3 \\ - 7 \end{pmatrix}} \cdots \cdots \text{㉡} ㉡의 양변에 AA를 곱하면 (A2+E)(pq)=A(3−7)\displaystyle ( A ^{2} + E ) {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}} = A {\begin{pmatrix} 3 \\ - 7 \end{pmatrix}} ㉠에 의해 −A(pq)=A(3−7)\displaystyle - A {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}} = A {\begin{pmatrix} 3 \\ - 7 \end{pmatrix}} ∴A(pq)=A(−37)\displaystyle \therefore A {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}} = A {\begin{pmatrix} - 3 \\ 7 \end{pmatrix}} ∴p=−3\therefore p = - 3, q=7q = 7 ∴p2+q2=9+49=58\therefore p ^{2} + q ^{2} = 9 + 49 = 58

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#역행렬#행렬 방정식

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