행렬 방정식 집합

집합 $A$의 원소는 연립방정식 $\displaystyle \begin{pmatrix} {a - 1} & {1} \\ {1} & {1} \end{pmatrix}$$\displaystyle \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {ab} \\ {b} \end{pmatrix}$ 의 해집합이다. 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix} {a - 1} & {1} \\ {1} & {1} \end{pmatrix}$의 역행렬이 존재한다고 가정하면 집합 $A$의 원소는 평면위의 한 점으로 원소의 개수가 $1$개다. 이 원소는 $A \cap B \ne \emptyset$, $A \cap C \ne \emptyset$이므로 집합 $B$와 집합 $C$의 원소이어야한다. 즉, 집합 $A$의 원소는 집합 $A \cap B$의 원소이어야 한다. 그런데 곡선 $y = x ^{2} + x + 1$과 직선 $y = x - 1$은 서로 만나지 않는다. 즉, $A \cap B$$= \emptyset$이다. 따라서 집합 $A$의 원소인 한 점이 $A \cap B$의 원소가 되는 것은 불가능하다. 따라서 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix} {a - 1} & {1} \\ {1} & {1} \end{pmatrix}$의 역행렬은 존재하지 않는다. $( a - 1 ) \cdot 1 - 1 = 0$에서 $a = 2$이고 이때, 연립방정식 $\displaystyle \begin{pmatrix} {1} & {1} \\ {1} & {1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2 b} \\ {b} \end{pmatrix}$를 만족시키는 해가 무수히 많아야하므로 $b = 0$이어야 한다. ∴ $a + b = 2$ [참고] 집합 $A$의 원소는 직선 $x + y = 0$ 위의 점이다.