행렬 방정식 해

[출제의도] 행렬로 표현된 연립일차방정식과 직선의 방정식을 이용하여 해를 구한다. 조건 (나)에서 점 $( 0 , 0 )$은 직선 $2 x - y + 1 = 0$ 위의 점이 아니므로 $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$이다. 따라서 조건 (가)의 방정식 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ - 4 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = k {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$, 즉 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 - k & - 1 \\ - 4 & 1 - k \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ 은 $x = 0$, $y = 0$ 이외의 해를 가져야 한다. 따라서 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 - k & - 1 \\ - 4 & 1 - k \end{pmatrix}}$가 역행렬을 갖지 않아야 하므로 $( 1 - k ) ^{2} - 4 = 0$이다. ∴ $k = - 1$ 또는 $3$ ⅰ) $k = - 1$일 때 방정식의 해 $( x , y )$에 대해 $2 x - y = 0$이므로 $2 x - y + 1 = 0$을 만족시키는 해는 없다. ⅱ) $k = 3$일 때 방정식의 해 $( x , y )$에 대해 $2 x + y = 0$이다. 즉, $2 \alpha + \beta = 0$이고, 이를 $2 \alpha - \beta + 1 = 0$과 연립하여 풀면 $\displaystyle \alpha = - \frac{1}{4}$, $\displaystyle \beta = \frac{1}{2}$ ∴ $20 ( k + \alpha + \beta )$$\displaystyle = 20 \left( 3 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right)$$= 65$