행렬 ABC=E 보기

ㄱ. (반례) $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle B = {\begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle C = {\begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}}$라고 하면 $A = E$, $ABC = E$, $ACB = E$ 이지만 $B \not = E$ 이다. (거짓) ㄴ. $ABC = E$ 에서 $C = ( AB ) ^{-1} = B ^{-1} A ^{-1}$ $ACB = AB ^{-1} A ^{-1} B = E$ $B ^{-1} A ^{-1} = A ^{-1} B ^{-1}$ $( B ^{-1} A ^{-1} ) ^{-1} = ( A ^{-1} B ^{-1} ) ^{-1}$ $AB = BA$ (참) ㄷ. (i) $n = 1$일 때 $ABC = E$ 이므로 성립한다. (ii) $n = k$ 일 때 $A ^{n} B ^{n} C ^{n} = E$가 성립한다고 가정하면 $n = k + 1$ 일 때 $A ^{n+1} B ^{n+1} C ^{n+1}$ $= A ^{n} A B ^{n} B C ^{n} C$$= A ^{n} B ^{n} AB C ^{n} C$ ($\because$ㄴ) $= A ^{n} B ^{n} C ^{n} ABC$($\because$$( AB ) C = C ( AB ) = E$) $= E$ 따라서 $n = k + 1$일 때도 성립하므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $A ^{n} B ^{n} C ^{n} = E$ 이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다.