공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 A+B=E, A²=-E

문제

두 이차정사각행렬 $A , B$ 가 다음 두 조건 (가) $A + B = E$ (나) $A ^{2} = - E$

를 만족한다. 다음 중 행렬 $( AB ) ^{2} + 2 B ^{-1}$ 와 같은 행렬은? (단, $E$ 는 단위행렬이다.) [4점] ① $E - A$ ② $A$ ③ $2 E$ ④ $E + 3 A$ ⑤ $4 E - 3 A$

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④

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해설

$A + B = E$ 의 왼쪽에 $A$ 를 곱하면 $A ^{2} + AB = A$ 이므로 $AB = A + E$ $\therefore \left( AB \right) ^{2} = ( A + E ) ^{2} = A ^{2} + 2 A + E = 2 A$ $A + B = E$ 의 오른쪽에 $B$ 를 곱하면 $AB + B ^{2} = B$ $A + B = E$ 의 양변을 제곱시키면 $A ^{2} + AB + BA + B ^{2} = E$ 이므로 $BA + B = 2 E$ $\displaystyle B ^{-1} = \frac{1}{2} ( A + E ) \rightarrow 2 B ^{-1} = A + E$ , $\therefore ( AB ) ^{2} + 2 B ^{-1} = 2 A + A + E = E + 3 A$

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