공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 A²+B²

문제

이차정사각행렬 A,BA , B에 대하여 (A+B)−1=A−1+B−1\left( A + B \right) ^{- 1} = A ^{- 1} + B ^{- 1}, AB+E=OAB + E = O가 성립할 때, A2+B2A ^{2} + B ^{2}을 간단히 하면? (단, X−1X ^{- 1}는 XX의 역행렬, EE는 단위행렬, OO는 영행렬) [4점] ①AA②BB③OO④−E- E⑤EE

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⑤

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해설

AB+E=OAB + E = O이므로 A=−B−1A = - B ^{- 1}, B=−A−1B = - A ^{- 1} (A+B)(A+B)−1=(A+B)(A−1+B−1)\left( A + B \right) \left( A + B \right) ^{- 1} = \left( A + B \right) \left( A ^{- 1} + B ^{- 1} \right) E=E+AB−1+BA−1+EE = E + AB ^{- 1} + BA ^{- 1} + E E=E−A2−B2+EE = E - A ^{2} - B ^{2} + E ∴ A2+B2=EA ^{2} + B ^{2} = E

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#행렬#역행렬

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