행과 열의 합이 2인 0-1행렬의 개수

(가), (나)에 의해 각 행과 각 열에는 $0 , 0 , 1 , 1$이 들어 간다. 제$1$행이 $1 1 0 0$인 경우 행렬의 개수를 구해 보자. (ⅰ) 제$1$행, 제$2$행이 같은 경우 $\displaystyle \left( \begin{array}{llll} \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} \end{array} \right)$

제$3$행과 제$4$행은 한 가지로 결정된다. (ⅱ) 제$1$행과 제$2$행의 한 열만 $1$로 같은 경우 $\displaystyle \left( \begin{array}{llll} \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & & & 1 \\ 0 & & & 1 \end{matrix} \end{array} \right)$, $\displaystyle \left( \begin{array}{llll} \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & & 1 & \\ 0 & & 1 & \end{matrix} \end{array} \right)$, $\displaystyle \left( \begin{array}{llll} \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ & 0 & & 1 \\ & 0 & & 1 \end{matrix} \end{array} \right)$, $\displaystyle \left( \begin{array}{llll} \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ & 0 & 1 & \\ & 0 & 1 & \end{matrix} \end{array} \right)$

각 행렬에서 빈자리에 $\genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0}$ $\genfrac{}{}{0pt}{}{0}{1}$ 또는 $\genfrac{}{}{0pt}{}{0}{1}$ $\genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0}$ 을 넣을 수 있으므로 이 경우 행렬의 개수는 $4 \times 2 = 8$이다. (ⅲ) 제$1$행과 제$2$행의 각 열에 같은 성분이 없는 경우 $\displaystyle \left( \begin{array}{llll} {\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ & & & \\ & & & \end{matrix}} \end{array} \right)$ 제$3$행이 결정되면 제$4$행은 한 가지로 결정되고, 제$3$행에 $1 , 1 , 0 , 0$을 배열하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{2 ! 2 !} = 6$(가지) 이므로 이 경우 행렬의 개수는 $6$이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 제$1$행이 $1 1 0 0$인 행렬의 개수가 $1 + 8 + 6 = 15$이고, 제$1$행의 배열이 다른 경우에도 각각 $15$개의 행렬을 만들 수 있으므로 구하는 행렬의 개수는 $\displaystyle \frac{4 !}{2 ! 2 !} \times 15 = 90$(개)이다.