대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행과 열 겹치지 않는 선택 합

문제

[그림 1]은 가로와 세로가 각각 $20$ 개의 칸으로 되어 있는 정사각형에 $1$ 부터 $400$ 까지의 자연수를 차례로 써 넣은 것이다.

		1열	2열	3열	…	20열
		⇩	⇩	⇩		⇩
1행	⇨	$1$	$2$	$3$	…	$20$
2행	⇨	$21$	$22$	$23$	…	$40$
3행	⇨	$41$	$42$	$43$	…	$60$
⋮		⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
20행	⇨	$381$	$382$	$383$	…	$400$



$1$	$2$	$3$	…	$20$
$21$	$22$	$23$	…	$40$
$41$	$42$	$43$	…	$60$
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
$381$	$382$	$383$	…	$400$

[그림 1] [그림 2] [그림 1]에서 각각의 행과 열에 대하여 중복되거나 빠지지 않게 각 행마다 한 개씩 수를 선택하고자 한다. 예를 들어 $1$ 행의 $20$ 과 $3$ 행의 $42$ 가 이미 선택되었다면, 다른 행의 수를 선택할 때에는 [그림 2]와 같이 $20$ 과 $42$ 가 포함된 행과 열의 어떤 수도 선택할 수 없다. 이와 같이 $20$ 개의 수들을 선택할 때, 선택되어진 수들의 합은? [4점] ① $2090$ ② $3030$ ③ $3070$ ④ $4010$ ⑤ $4050$

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④

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 구하기 $m$ 행 $n$ 열에 있는 수는 항상 $20 ( m - 1 ) + n$ 의 꼴로 나타낼 수 있다. 이 때, 각각의 행 또는 열에 중복되거나 빠지지 않게 각 행마다 하나의 수를 택하면 $m - 1$ 과 $n$ 은 $1 , 2 , 3 , \cdots , 20$ 의 값들을 중복되지 않게 모두 한 번씩 취하게 된다. 따라서 선택된 $20$ 개의 수들의 합은 $\displaystyle \sum\limits _{m = 1} ^{20} 20 ( m - 1 ) + \sum\limits _{n = 1} ^{20} n$ $\displaystyle = \sum\limits _{m = 1} ^{20} 20 m + \sum\limits _{n = 1} ^{20} n - 400$ $\displaystyle = 20 \times \frac{20 \times 21}{2} + \frac{20 \times 21}{2} - 400$ $= 4010$

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