행별 등차수열 합

[출제의도] 등차수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 제$1$행의 $3$개의 수 $1$, $\square {}$, $\displaystyle \frac{1}{2}$는 등차수열이므로 $\square {}$에 들어가는 수의 합 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4}$ 제$2$행의 $4$개의 수 $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\square {}$, $\square {}$, $\displaystyle \frac{1}{4}$는 등차수열이므로 $\square {}$에 들어가는 수의 합 $\displaystyle S _{2} = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4}$ $\vdots$ 제$n$행의 $2 ^{n - 1} + 2$개의 수는 등차수열이므로 $\square {}$에 들어가는 수의 합 $\displaystyle S _{n} = 2 ^{n - 2} \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\} = \frac{3}{4}$ ∴ 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle S _{n} = \frac{3}{4}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{40} S _{n} = \frac{3}{4} \times 40 = 30$ (별해) $\displaystyle S _{n} = \frac{\left( 2 ^{n - 1} + 2 \right) \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}}{2} - \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}$ $\displaystyle = \left( 2 ^{n - 2} + 1 \right) \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\} - \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}$ $\displaystyle = \left( 2 ^{n - 2} + 1 - 1 \right) \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}$ $\displaystyle = 2 ^{n - 2} \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}$$\displaystyle = \frac{3}{4}$