행 행렬과 열 행렬 집합

집합 $T$의 원소 $\displaystyle P = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$와 집합 $S$의 원소 $A = \left( a b \right)$에 대하여 ㄱ. $\displaystyle PA = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \left( a b \right)$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} pa & & pb \\ qa & & qb \end{pmatrix}$ 이므로 $\left( pa \right) \left( qb \right) - \left( pb \right) \left( qa \right) = 0$이다. 즉 $PA$는 역행렬을 갖지 않는다. (참) ㄴ. 집합 $S$의 원소 $B = \left( c d \right)$에 대하여 $\displaystyle PB = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \left( c d \right)$$\displaystyle = \begin{pmatrix} pc & & pd \\ qc & & qd \end{pmatrix}$ 이고 $PA = PB$이므로 $pa = pc$, $pb = pd$ $qa = qc$, $qb = qd$ $\left( p \ne 0 , q \ne 0 \right)$ 이다. 따라서 $a = c$, $b = d$ 즉, $A = B$이다. (참) ㄷ. $\displaystyle PA \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} pa & & pb \\ qa & & qb \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} pa + pb \\ qa + qb \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 이므로 $p \left( a + b \right) = 1$, $q \left( a + b \right) = 1$, $\left( a + b \ne 0 \right)$ $\displaystyle p = \frac{1}{a + b}$, $\displaystyle q = \frac{1}{a + b}$ 이다. 즉 $T$의 원소 $\displaystyle P = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a + b} \\ \frac{1}{a + b} \end{pmatrix}$이 존재한다. (참) 따라서 ㄱ,ㄴ,ㄷ 모두 참이다.