해가 무수히 많은 행렬

[출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 행렬의 성분을 구한다. $A$의 역행렬이 존재하면 $AX = O$에서 $A ^{- 1} AX = A ^{- 1} O$이므로 $X = O$이다. 따라서 행렬 $X$가 무수히 많다는 조건에 모순이므로$A$의 역행렬은 존재하지 않는다. $( a - 1 ) ( a + 1 ) - 3 a = 0$ $a ^{2} - 3 a - 1 = 0$ 이때 이 이차방정식의 판별식 $D > 0$이므로 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 모든 실수 $a$의 합은 $3$이다. [참고] 실제로 $a ^{2} - 3 a - 1 = 0$이면 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a - 1 & 1 \\ 3 a & a + 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle {\begin{cases} ( a - 1 ) x + y = 0 & \cdots \text{㉠} \\ 3 ax + ( a + 1 ) y = 0 & \cdots \text{㉡} \end{cases}}$ 이때 $3 a = a ^{2} - 1$이므로 ㉡에서 $( a ^{2} - 1 ) x + ( a + 1 ) y = 0$ $( a + 1 ) \left\{ ( a - 1 ) x + y \right\} = 0$ $( a - 1 ) x + y = 0$ (∵ $a \neq 1$) 따라서 직선 $( a - 1 ) x + y = 0$ 위의 모든 점 $( x , y )$에 대하여 $\displaystyle X = {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$는 $AX = O$를 만족시키므로 등식 $AX = O$를 만족시키는 $X$는 무수히 많다.