공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

해가 없는 연립일차방정식과 원

문제

자연수 nn에 대하여 연립일차방정식 {ax−by=1bx+(a−2n)y=1\displaystyle \begin{cases} ax - by = 1 \\ bx + ( a - 2 n ) y = 1 \end{cases} 의 해가 존재하지 않을 때, 실수 aa, bb의 순서쌍 (a,b)( a , b ) 전체의 집합을 AnA _{n}이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. (n,n)∉An( n , n ) \notin A _{n} ㄴ. (a,b)∈An( a , b ) \in A _{n}이면 a2+b2>2n\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} > 2 n이다. ㄷ. 서로 다른 두 자연수 mm, nn에 대하여 Am∩An=∅A _{m} \cap A _{n} = \emptyset이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

주어진 연립일차방정식의 해가 존재하지 않으려면 ab=−ba−2n≠1\displaystyle \frac{a}{b} = - \frac{b}{a - 2 n} \ne 1이어야 한다. (단, (a,b)≠( a , b ) \ne(0,0)( 0 , 0 ), (2n,0)( 2 n , 0 ) ∵\because일차연립방정식) a2−2na=−b2a ^{2} - 2 na = - b ^{2}에서 (a−n)2+b2=n2( a - n ) ^{2} + b ^{2} = n ^{2}이므로 점 (a,b)( a , b )는 원 (a−n)2+b2=n2( a - n ) ^{2} + b ^{2} = n ^{2}의 점 중 b≠ab \ne a, b≠2n−ab \ne 2 n - a를 만족시키는 점이다.

따라서 집합 AnA _{n}은 점 (0,0)( 0 , 0 ), (n,n)( n , n ), (2n,0)( 2 n , 0 )을 제외한 원 (a−n)2+b2=n2( a - n ) ^{2} + b ^{2} = n ^{2} 위의 모든 점이다. ㄱ. 그림에서 (n,n)∉An( n , n ) \notin A _{n} (참) ㄴ. 원 (a−n)2+b2=n2( a - n ) ^{2} + b ^{2} = n ^{2} 위의 점 (a,b)( a , b )에서 원점 O\mathrm{O}에 이르는 거리는 2n2 n보다 작거나 같다. ∴ a2+b2≤2n\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} \leq 2 n (거짓) ㄷ. 아래 그림에서 An∩Am=∅A _{n} \cap A _{m} = \emptyset (참)|

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

태그

#연립일차방정식#원의 방정식#참거짓 판별

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