해가 없는 연립방정식

[출제의도] 행렬과 로그를 이용하여 연립방정식의 해를 갖지 않도록 하는 조건을 구한다. 주어진 연립방정식이 해를 갖지 않으므로 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} \log _{3} a & 3 \\ 1 & \log _{3} \frac{a}{9} \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않는다. $\displaystyle \log _{3} a \times \log _{3} \frac{a}{9} - 3 \times 1 = 0$ $\log _{3} a ( \log _{3} a - 2 ) - 3 = 0$ $\left( \log _{3} a \right) ^{2} - 2 \log _{3} a - 3 = 0$ $t = \log _{3} a$로 놓으면 $t ^{2} - 2 t - 3 = 0$ $( t + 1 ) ( t - 3 ) = 0$ $t = - 1$ 또는 $t = 3$ $\log _{3} a = - 1$ 또는 $\log _{3} a = 3$ $\displaystyle a = \frac{1}{3}$ 또는 $a = 27$ (ⅰ) $\displaystyle a = \frac{1}{3}$일 때, $\displaystyle {\begin{pmatrix} - 1 & 3 \\ 1 & - 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \end{pmatrix}}$이므로 $\displaystyle \frac{- 1}{1} = \frac{3}{- 3} = \frac{1}{- 1}$이다. 따라서 주어진 연립방정식은 무수히 많은 해를 갖는다. (ⅱ) $a = 27$일 때, $\displaystyle {\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \end{pmatrix}}$이므로 $\displaystyle \frac{3}{1} = \frac{3}{1} \ne \frac{1}{- 1}$이다. 따라서 주어진 연립방정식은 해를 갖지 않는다. ∴ $a = 27$