규칙으로 나열한 수의 합

[출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제해결하기 $n$행에 나열된 모든 자연수의 합을 $S _{n}$이라 하자. $S _{1} = 2 + 3 + 3 \times 2$ $S _{2} = 2 + 2 S _{1} = 2 + 2 ^{2} + 3 \times 2 + 3 \times 2 ^{2}$ $S _{3} = 2 + 2 S _{2} = 2 + 2 ^{2} + 2 ^{3} + 3 \times 2 ^{2} + 3 \times 2 ^{3}$ $\vdots$ $S _{n} = 2 ^{1} + 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{n} + 3 \times 2 ^{n - 1} + 3 \times 2 ^{n}$이므로 $S _{10} = \left( 2 ^{1} + 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{10} \right) + \left( 3 \times 2 ^{9} + 3 \times 2 ^{10} \right)$ $\displaystyle = \frac{2 \left( 2 ^{10} - 1 \right)}{2 - 1} + 3 \times 2 ^{9} + 3 \times 2 ^{10}$ $= 2 ^{11} - 2 + 3 \times 2 ^{9} + 3 \times 2 ^{10}$ $= \left( 4 + 3 + 6 \right) \times 2 ^{9} - 2 = 13 \times 2 ^{9} - 2$ 따라서 $S = 13 \times 2 ^{9} - 2$이므로 $p = 13$이다.