미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

규칙으로 그린 원의 중심

문제

자연수 nn에 대하여 중심이 xx축 위에 있고 반지름의 길이가 rnr _{n}인 원 CnC _{\mathit{n}}을 다음과 같은 규칙으로 그린다.

(가) 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원 C1C _{\mathit{1}}을 그린다. (나) 원 Cn−1C _{\mathit{n} - 1}의 중심을 xx축의 방향으로 2rn−12 r _{n - 1}만큼 평행이동시킨 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 2rn−12 r _{n - 1}인 원 CnC _{\mathit{n}}을 그린다. (n=2n = 2, 33, 44, ⋯\cdots)

원 CnC _{\mathit{n}}의 중심을 (an,0)\left( a _{n} , 0 \right)이라 할 때, lim⁡n→∞anrn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{r _{n}}}의 값은? [4점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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④

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해설

[출제의도] 도형과 무한수열의 극한을 이용하여 수학내적 문제해결하기 C1C _{1}: x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1 C2C _{2}: (x−2)2+y2=22( x - 2 ) ^{2} + y ^{2} = 2 ^{2} C3C _{3}: {x−(2+22)}2+y2=(22)2\left\{ x - \left( 2 + 2 ^{2} \right) \right\} ^{2} + y ^{2} = \left( 2 ^{2} \right) ^{2} ⋮\vdots CnC _{\mathit{n}}: {x−(2+22+⋯+2n−1)}2+y2=(2n−1)2\left\{ x - \left( 2 + 2 ^{2} + \cdots + 2 ^{n - 1} \right) \right\} ^{2} + y ^{2} = \left( 2 ^{n - 1} \right) ^{2} 원 CnC _{\mathit{n}}의 중심의 xx좌표 an=2+22+⋯+2n−1=2n−2a _{n} = 2 + 2 ^{2} + \cdots + 2 ^{n - 1} = 2 ^{n} - 2 (n≥2)\left( n \geq 2 \right) 원 CnC _{\mathit{n}}의 반지름의 길이 rn=2n−1r _{n} = 2 ^{n - 1} 따라서 lim⁡n→∞anrn=lim⁡n→∞2n−22n−1=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{r _{n}}} \mathit{=} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 ^{n} - 2}{2 ^{n - 1}}} = 2

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#등비수열#수열의 극한

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