공통수학2도형의 이동수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

규칙에 따른 대칭이동

문제

자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}} ( \mathit{x} _{n} , y _{n} )$ 은 다음과 같은 규칙에 따라 이동한다. (단, $x _{n} y _{n} \ne 0$ )


	(가) 점 $\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}$ 이 $x _{n} y _{n} > 0$ 이고 $x _{n} > y _{n}$ 이면 이 점을 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점이 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1}$ 이다. (나) 점 $\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}$ 이 $x _{n} y _{n} > 0$ 이고 $x _{n} < y _{n}$ 이면 이 점을 $x$ 축에 대하여 대칭이동한 점이 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1}$ 이다. (다) 점 $\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}$ 이 $x _{n} y _{n} < 0$ 이면 이 점을 $y$ 축에 대하여 대칭이동한 점이 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1}$ 이다.

점 $\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{\mathit{1}}}}$ 의 좌표가 $( 3 , 2 )$ 일 때, $10 x _{50} + y _{50}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 대칭이동을 이용하여 추론하기 주어진 규칙에 따라 점 $\mathrm{P} _{2}$ , $\mathrm{P} _{3}$ , $\mathrm{P} _{4}$ , $\cdots$ 을 구하면 $\mathrm{P} _{1} \left( 3 , 2 \right)$ $\mathrm{\rightarrow}$ $\mathrm{P} _{2} \left( 2 , 3 \right)$ $\mathrm{\rightarrow}$ $\mathrm{P} _{3} \left( 2 , - 3 \right)$ $\mathrm{\rightarrow}$ $\mathrm{P} _{4} \left( - 2 , - 3 \right)$ $\mathrm{\rightarrow}$ $\mathrm{P} _{5} \left( - 3 , - 2 \right)$ $\mathrm{\rightarrow}$ $\mathrm{P} _{6} \left( - 3 , 2 \right)$ $\mathrm{\rightarrow}$ $\mathrm{P} _{7} \left( 3 , 2 \right)$ $\mathrm{\rightarrow}$ $\mathrm{P} _{8} \left( 2 , 3 \right)$ $\mathrm{\rightarrow}$ $\mathrm{P} _{9} \left( 2 , - 3 \right)$ $\mathrm{\rightarrow}$ $\cdots$ 과 같으므로 자연수 $n$ 에 대하여 점 $\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}$ 의 좌표와 점 $\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n} + 6}}}$ 의 좌표가 같다. $50 = 6 \times 8 + 2$ 이므로 점 $\mathrm{P} _{50}$ 의 좌표는 점 $\mathrm{P} _{2}$ 의 좌표와 같다. 점 $\mathrm{P} _{50}$ 의 좌표는 $\left( 2 , 3 \right)$ 이다. 따라서 $10 x _{50} + y _{50}$ $= 23$

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