대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

규칙 이동 점 좌표

문제

자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면 위의 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ 을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 $\mathrm{A} _{1}$ 의 좌표는 $( 0 , 0 )$ 이다. (나) $n$ 이 짝수이면 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ 은 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n} - 1}$ 을 $y$ 축의 방향으로 $\displaystyle ( - 1 ) ^{\frac{n}{2}} \times ( n + 1 )$ 만큼 평행이동한 점이다. (다) $n$ 이 $3$ 이상의 홀수이면 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ 은 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n} - 1}$ 을 $x$ 축의 방향으로 $\displaystyle ( - 1 ) ^{\frac{n - 1}{2}} \times n$ 만큼 평행이동한 점이다.

위의 규칙에 따라 정해진 점 $\mathrm{A} _{30}$ 의 좌표를 $( p , q )$ 라 할 때, $p + q$ 의 값은? [4점] ① $- 6$ ② $- 3$ ③ $0$ ④ $3$ ⑤ $6$

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②

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열 추론하기 $A _{1} \left( 0 , 0 \right)$ $A _{2} \left( 0 , \left( - 1 \right) \times 3 \right)$ $A _{3} \left( \left( - 1 \right) \times 3 , \left( - 1 \right) \times 3 \right)$ $A _{4} \left( \left( - 1 \right) \times 3 , \left( - 1 \right) \times 3 + \left( - 1 \right) ^{2} \times 5 \right)$ $A _{5} \left( \left( - 1 \right) \times 3 + \left( - 1 \right) ^{2} \times 5 , \left( - 1 \right) \times 3 + \left( - 1 \right) ^{2} \times 5 \right)$ $\begin{aligned} A _{6} ( \left( - 1 \right) \times 3 + \left( - 1 \right) ^{2} \times 5 , \\ \left( - 1 \right) \times 3 + \left( - 1 \right) ^{2} \times 5 + \left( - 1 \right) ^{3} \times 7 ) \end{aligned}$ $\begin{aligned} A _{7} ( \left( - 1 \right) \times 3 + \left( - 1 \right) ^{2} \times 5 + \left( - 1 \right) ^{3} \times 7 , \\ \left( - 1 \right) \times 3 + \left( - 1 \right) ^{2} \times 5 + \left( - 1 \right) ^{3} \times 7 ) \end{aligned}$ $\cdots$ $\therefore$ $p = \left( - 1 \right) \times 3 + \left( - 1 \right) ^{2} \times 5 + \left( - 1 \right) ^{3} \times 7$ $+ \cdots + \left( - 1 \right) ^{14} \times 29$ $= - 3 + 5 - 7 + 9 - \cdots + 29 = 14$ $q = \left( - 1 \right) \times 3 + \left( - 1 \right) ^{2} \times 5 + \left( - 1 \right) ^{3} \times 7$ $+ \cdots + \left( - 1 \right) ^{15} \times 31$ $= - 3 + 5 - 7 + 9 - \cdots - 31 = - 17$ 따라서 $p + q = - 3$

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