공통수학2집합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

교집합 공집합 아닌 X

문제

전체집합 $U = \left\{ x | x \right.$ 는 $7$ 이하의 자연수 $\}$ 의 두 부분집합 $A = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$ , $B = \left\{ 2 , 3 , 5 , 7 \right\}$ 에 대하여 $A \cap X \ne \emptyset$ , $B \cap X \ne \emptyset$ 을 모두 만족시키는 $U$ 의 부분집합 $X$ 의 개수는? [4점] ① $102$ ② $104$ ③ $106$ ④ $108$ ⑤ $110$

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④

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해설

주어진 조건의 부정은 $A \cap X = \emptyset$ 이거나 $B \cap X = \emptyset$ 이므로 i) $A \cap X = \emptyset$ 인 경우는 $2 ^{4} = 16$ 가지 ii) $B \cap X = \emptyset$ 인 경우는 $2 ^{3} = 8$ 가지이고 iii) $( A \cup B ) \cap X = \emptyset$ 인 경우는 $2 ^{2} = 4$ 가지인데, i), ii)에 중복되어 있다. $U$ 의 모든 부분집합은 $2 ^{7} = 128$ 개에서 위의 경우를 뺀다. $\therefore$ $128 - ( 16 + 8 - 4 ) = 108$

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