교점 좌표 극한

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 극한 추론하기 두 곡선 $y = e ^{x - 1}$과 $y = a ^{x}$이 만나는 점의 $x$좌표는 방정식 $e ^{x - 1} = a ^{x}$의 해이다. 양변에 $\displaystyle \frac{e}{a ^{x}}$를 곱하면 $\displaystyle \left( \frac{e}{a} \right) ^{x} = e$ $\displaystyle x = \frac{1}{\ln \frac{e}{a}}$이므로 $\displaystyle f \left( a \right) = \frac{1}{\ln \frac{e}{a}}$ $a - e = t$라 하면 $a = t + e$이고, $a \rightarrow e +$일 때 $t \rightarrow 0 +$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow e +} {\frac{1}{\left( e - a \right) f \left( a \right)}}$$\displaystyle = \lim\limits _{a \rightarrow e +} {\frac{\ln \frac{e}{a}}{\left( e - a \right)}}$$=$$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\ln \frac{e}{t + e}}{- t}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\ln \left( 1 + \frac{t}{e} \right) ^{\frac{1}{t}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\ln \left\{ \left( 1 + \frac{t}{e} \right) ^{\frac{e}{t}} \right\} ^{\frac{1}{e}} =} \frac{1}{e}$