교점 거리 극한

$y = x ^{2}$과 $y = - x + n$의 교점의 $x$좌표를 $\alpha _{n} , \beta _{n}$$( \text{단} , \alpha _{n} < \beta _{n} )$라 하면 교점의 좌표는 $( \alpha _{n} , - \alpha _{n} + n )$, $( \beta _{n} , - \beta _{n} + n )$이다. …① 또한 $\alpha _{n} , \beta _{n}$는 $x ^{2} + x - n = 0$의 두 근이므로 $\alpha _{n} + \beta _{n} = - 1$, $\alpha _{n} \beta _{n} = - n$이다. … ② ①, ② 에 의하여 $l _{n} ^{2} = 2 ( \alpha _{n} - \beta _{n} ) ^{2}$$= 2 \left\{ ( \alpha _{n} + \beta _{n} ) ^{2} - 4 \alpha _{n} \beta _{n} \right\} = 8 n + 2$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{l _{n} ^{2}}{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{8 n + 2}{n}} = 8$