교점 개수로 만든 급수

[출제의도] 무한급수를 이용하여 추론하기 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{n} x$의 그래프는 다음과 같다.

$y = f \left( x \right)$

위 그림에서 $a _{1} = 2$, $a _{2} = 3$, $a _{3} = 4$, $a _{4} = 5$, $\cdots$ $\therefore a _{n} = n + 1$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{2}{a _{n} \times a _{n + 2}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{2}{\left( n + 1 \right) \left( n + 3 \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{2}{\left( k + 1 \right) \left( k + 3 \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 3} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \cdots \right.}$ 　$\displaystyle \left. + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) + \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 3} \right) \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} \right) =} \frac{5}{6}$