교점 개수 함수의 극한 조건

$a$, $b$는 자연수이고, 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 2 x ^{3} - 6 x + 1 & \left( x \leq 2 \right) \\ a \left( x - 2 \right) \left( x - b \right) + 9 & \left( x > 2 \right) \end{cases}}$ 이다. 함수 $h \left( x \right) = 2 x ^{3} - 6 x + 1$이라 하면 $h' \left( x \right) = 6 x ^{2} - 6$ 방정식 $h' \left( x \right) = 0$에서 $x = \pm 1$ $x \leq 2$에서 함수 $y = h \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

이다. 함수 $y = a \left( x - 2 \right) \left( x - b \right) + 9$의 그래프는 점 $\left( 2 , 9 \right)$, 점 $\left( b , 9 \right)$를 지난다. 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수가 $g \left( t \right)$이고, $\displaystyle g \left( k \right) + \lim\limits _{t \rightarrow k -} {} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow k +} {} g \left( t \right) = 9$인 실수 $k$의 개수는 $1$이다. (ⅰ) $b = 1$일 때 함수 $y = a \left( x - 2 \right) \left( x - b \right) + 9$에서 $y = a \left( x - 2 \right) \left( x - 1 \right) + 9$ 이다. 함수 $y = a \left( x - 2 \right) \left( x - 1 \right) + 9$의 그래프는 두 점 $\left( 1 , 9 \right)$, $\left( 2 , 9 \right)$를 지난다. $- 3 < k < 5$인 모든 실수 $k$에 대하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$의 교점의 개수가 $3$이다. 따라서 $- 3 < k < 5$인 모든 실수 $k$에 대하여 $\displaystyle g \left( k \right) = \lim\limits _{t \rightarrow k -} {} g \left( t \right) = \lim\limits _{t \rightarrow k +} {} g \left( t \right) = 3$ 이다. 따라서 $\displaystyle g \left( k \right) + \lim\limits _{t \rightarrow k -} {} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow k +} {} g \left( t \right) = 9$인 실수 $k$의 개수는 무수히 많다.

(ⅱ) $b = 2$일 때 함수 $y = a \left( x - 2 \right) \left( x - b \right) + 9$에서 $y = a \left( x - 2 \right) ^{2} + 9$ 이다. 함수 $y = a \left( x - 2 \right) ^{2} + 9$의 그래프의 꼭짓점은 $\left( 2 , 9 \right)$이다. $- 3 < k < 5$인 모든 실수 $k$에 대하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$의 교점의 개수가 $3$이다. 따라서 $- 3 < k < 5$인 모든 실수 $k$에 대하여 $\displaystyle g \left( k \right) = \lim\limits _{t \rightarrow k -} {} g \left( t \right) = \lim\limits _{t \rightarrow k +} {} g \left( t \right) = 3$ 이다. 따라서 $\displaystyle g \left( k \right) + \lim\limits _{t \rightarrow k -} {} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow k +} {} g \left( t \right) = 9$인 실수 $k$의 개수는 무수히 많다.

(ⅲ) $b \geq 3$일 때 함수 $y = a \left( x - 2 \right) \left( x - b \right) + 9$의 그래프의 꼭짓점은 $\displaystyle \left( \frac{b + 2}{2} , f \left( \frac{b + 2}{2} \right) \right)$이다. $\displaystyle f \left( \frac{b + 2}{2} \right) = - 3$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$의 교점의 개수는 $k < - 3$에서 $1$, $k = - 3$에서 $3$이고, $- 3 < k < 5$에서 $5$이므로 $g \left( - 3 \right) = 3$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 3 -} {} g \left( t \right) = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 3 +} {} g \left( t \right) = 5$ 이다.

$\displaystyle f \left( \frac{b + 2}{2} \right) \ne - 3$인 자연수 $b$에 대하여 같은 방법으로 하면 $\displaystyle g \left( k \right) + \lim\limits _{t \rightarrow k -} {} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow k +} {} g \left( t \right) = 9$인 실수 $k$의 개수가 $1$인 경우는 존재하지 않는다. 이상에서 $\displaystyle g \left( k \right) + \lim\limits _{t \rightarrow k -} {} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow k +} {} g \left( t \right) = 9$인 $k$의 개수가 $1$이면 $b \geq 3$, $\displaystyle f \left( \frac{b + 2}{2} \right) = - 3$ 이다. $\displaystyle f \left( \frac{b + 2}{2} \right) = - 3$에서 $\displaystyle a \left( \frac{b}{2} - 1 \right) \left( 1 - \frac{b}{2} \right) + 9 = - 3$, $\displaystyle a \left( \frac{b}{2} - 1 \right) ^{2} = 12$ $\therefore$ $a \left( b - 2 \right) ^{2} = 48$ $48$을 두 자연수 $m$, $n$에 대하여 $m \times n ^{2}$꼴로 나타내면 $3 \times 4 ^{2}$ 또는 $12 \times 2 ^{2}$ 또는 $48 \times 1 ^{2}$ $b \geq 3$이므로 $b - 2 \geq 1$이다. ($1$) $48 = 3 \times 4 ^{2}$일 때 $a = 3$, $b = 6$ ($2$) $48 = 12 \times 2 ^{2}$일 때 $a = 12$, $b = 4$ ($3$) $48 = 48 \times 1 ^{2}$일 때 $a = 48$, $b = 3$ 이상에서 $a + b$의 최댓값은 $a = 48$, $b = 3$일 때 $51$이다.