교점 개수 함수의 불연속

$x > 0$에서 $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} + 5$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f \left( x \right) = 5$이고 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 6 x = 3 x \left( x - 2 \right)$이다. $f' \left( 2 \right) = 0$이고 $x = 2$의 좌우에서 $f' \left( x \right)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $f \left( x \right)$의 극솟값은 $f \left( 2 \right) = 1$이다. $x \leq 0$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = x ^{2} - 2 ax + \frac{a ^{2}}{4} + b ^{2} = \left( x - a \right) ^{2} - \frac{3}{4} a ^{2} + b ^{2}$이고 $\displaystyle f \left( 0 \right) = \frac{a ^{2}}{4} + b ^{2}$ (ⅰ) $a \geq 0$인 경우 ① $f \left( 0 \right) = 5$인 경우

함수 $g \left( t \right)$는 $t = 1$에서만 불연속이므로 함수 $g \left( t \right)$가 $t = k$에서 불연속인 실수 $k$의 개수는 $\mathrm{1}$이다. ② $f \left( 0 \right) \ne 5$인 경우

함수 $g \left( t \right)$는 $t = 1$, $t = 5$, $t = f \left( 0 \right)$에서 불연속이다. 함수 $g \left( t \right)$가 $t = k$에서 불연속인 실수 $k$의 개수가 $\mathrm{2}$가 되려면 $\displaystyle f \left( 0 \right) = \frac{a ^{2}}{4} + b ^{2} = 1$이다. $\displaystyle \frac{a ^{2}}{4} = 0$, $b ^{2} = 1$ 또는 $\displaystyle \frac{a ^{2}}{4} = 1$, $b ^{2} = 0$ 을 만족시키는 두 정수 $a$, $b$의 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 0 , 1 \right)$, $\left( 0 , - 1 \right)$, $\left( 2 , 0 \right)$ (ⅱ) $a < 0$인 경우 ① $f \left( 0 \right) = 5$인 경우

함수 $g \left( t \right)$는 $t = 1$, $t = 5$, $t = f \left( a \right)$에서 불연속이다. 함수 $g \left( t \right)$가 $t = k$에서 불연속인 실수 $k$의 개수가 $\mathrm{2}$가 되려면 $\displaystyle f \left( a \right) = - \frac{3}{4} a ^{2} + b ^{2} = 1$, $\displaystyle f \left( 0 \right) = \frac{a ^{2}}{4} + b ^{2} = 5$이다. $a ^{2} = 4$, $b ^{2} = 4$를 만족시키는 두 정수 $a$, $b$의 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( - 2 , 2 \right)$, $\left( - 2 , - 2 \right)$ ② $f \left( 0 \right) = 1$인 경우

$f \left( a \right) < 1 < 5$이고 함수 $g \left( t \right)$는 $t = f \left( a \right)$, $t = 1$, $t = 5$에서 불연속이므로 함수 $g \left( t \right)$가 $t = k$에서 불연속인 실수 $k$의 개수가 $\mathrm{3}$이다. ③ $f \left( 0 \right) \ne 1$이고 $f \left( 0 \right) \ne 5$인 경우

$g \left( t \right)$는 $t = 1$, $t = 5$, $t = f \left( 0 \right)$에서 불연속이므로 함수 $g \left( t \right)$가 $t = k$에서 불연속인 실수 $k$의 개수는 $\mathrm{3}$ 이상이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 두 정수 $a$, $b$의 모든 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $\left( 0 , 1 \right)$, $\left( 0 , - 1 \right)$, $\left( 2 , 0 \right)$, $\left( - 2 , 2 \right)$, $\left( - 2 , - 2 \right)$로 $\mathrm{5}$