교점 개수 함수 연속 보기

[출제의도] 함수의 연속 추론하기 ㄱ. 집합 $\left. \left\{ {} ^{} ( x , y ) \right| y = x \right.$또는$\mathit{y} = x {} ^{2} \}$이 나타내는 도형과 직선 $x + y = 0$을 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.

$y = x ^{2}$ $y = \mathit{-} x$

$x ^{2} = \mathit{-} x$에서 $x = 0$ 또는 $x = \mathit{-} 1$ $\therefore$ $a = 0$일 때, $f \left( 0 \right) = 2$이다. (참) ㄴ. $\displaystyle x + y = \mathit{-} \frac{1}{4}$과 $y = \left( x - a \right) ^{2} - a$를 연립하여 정리하면 $\displaystyle x ^{2} - \left( 2 a - 1 \right) x + a ^{2} - a + \frac{1}{4} = 0$이다. 이 이차방정식의 판별식을 $D _{1}$이라 하면 $\displaystyle D _{1} = \left( 2 a - 1 \right) ^{2} - 4 \left( a ^{2} - a + \frac{1}{4} \right) = 0$이므로 직선 $\displaystyle x + y = \mathit{-} \frac{1}{4}$과 곡선 $y = \left( x - a \right) ^{2} - a$는 한 점에서 만난다.

$y = \left( x - a \right) ^{2} - a$ $\displaystyle y = \mathit{-} x - \frac{1}{4}$

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - \frac{1}{4} -} {f \left( t \right)} = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - \frac{1}{4} +} {f \left( t \right)} = 3$이므로 $f \left( t \right)$는 $\displaystyle t = \mathit{-} \frac{1}{4}$에서 불연속이다. (참) ㄷ. (ⅰ) 곡선 $y = \left( x - a \right) ^{2} - a$와 직선 $y = x$가 만나는 점의 개수가 $0$인 경우

$y = \left( x - a \right) ^{2} - a$ $\displaystyle t > - \frac{1}{4}$ $\displaystyle t = \mathit{-} \frac{1}{4}$ $\displaystyle t < \mathit{-} \frac{1}{4}$

함수 $f \left( t \right)$의 불연속인 점의 개수가 $1$이다. (ⅱ) 곡선 $y = \left( x - a \right) ^{2} - a$와 직선 $y = x$가 만나는 점의 개수가 $1$인 경우

$y = \left( x - a \right) ^{2} - a$ $\displaystyle - \frac{1}{4} < t < p$ $\displaystyle t = \mathit{-} \frac{1}{4}$ $\displaystyle t < \mathit{-} \frac{1}{4}$

함수 $f \left( t \right)$의 불연속인 점의 개수가 $2$이다. 곡선 $y = \left( x - a \right) ^{2} - a$와 직선 $y = x$가 접할 때의 $a$의 값을 구하자. $\left( x - a \right) ^{2} - a = x$에서 이를 정리하면 $x ^{2} - \left( 2 a + 1 \right) x + a ^{2} - a = 0$ 이 이차방정식의 판별식을 $D _{2}$라 하면 $D _{2} = \left( 2 a + 1 \right) ^{2} - 4 \left( a ^{2} - a \right) = 8 a + 1$ $D _{2} = 0$에서 $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{1}{8}$ (ⅲ) 곡선 $y = \left( x - a \right) ^{2} - a$와 직선 $y = x$가 만나는 점의 개수가 $2$인 경우 (a) 곡선 $y = \left( x - a \right) ^{2} - a$가 두 직선 $y = x$, $\displaystyle y = \mathit{-} x - \frac{1}{4}$이 만나는 점을 지나는 경우

$y = \left( x - a \right) ^{2} - a$ $\displaystyle t = \mathit{-} \frac{1}{4}$ $\displaystyle t < \mathit{-} \frac{1}{4}$ $\displaystyle - \frac{1}{4} < t < q$

함수 $f \left( t \right)$의 불연속인 점의 개수가 $2$이다. 곡선 $y = \left( x - a \right) ^{2} - a$가 두 직선 $y = x$, $\displaystyle y = \mathit{-} x - \frac{1}{4}$이 만나는 점 $\displaystyle \left( - \frac{1}{8} , - \frac{1}{8} \right)$을 지나므로 $\displaystyle - \frac{1}{8} = \left( - \frac{1}{8} - a \right) ^{2} - a$를 정리하면 $\displaystyle \left( a - \frac{3}{8} \right) ^{2} = 0$ $\therefore$ $\displaystyle a = \frac{3}{8}$ (b) 곡선 $y = \left( x - a \right) ^{2} - a$가 두 직선 $y = x$, $\displaystyle y = \mathit{-} x - \frac{1}{4}$이 만나는 점을 지나지 않는 경우

$\displaystyle - \frac{1}{4} < t < r$ $\displaystyle t = \mathit{-} \frac{1}{4}$ $\displaystyle t < \mathit{-} \frac{1}{4}$ $r < t < s$ $y = \left( x - a \right) ^{2} - a$

함수 $f \left( t \right)$의 불연속인 점의 개수가 $3$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 함수 $f ( t )$가 $t = \alpha$에서 불연속이 되는 실수 $\alpha$의 개수가 $2$일 때, $a$의 값은 $\displaystyle - \frac{1}{8}$, $\displaystyle \frac{3}{8}$이다. 따라서 모든 $a$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{1}{4}$이다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ