교점 개수 함수 극한

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f \left( x \right) = \left| b \right| = b$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f \left( x \right) = b ^{2}$ $x > 0$에서 $f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{2} + b ^{2} - a ^{2}$ $0 < a < b$이므로 $0 < b ^{2} - a ^{2} < b ^{2}$ 세 실수 $b$, $b ^{2}$, $b ^{2} - a ^{2}$의 대소관계에 따라 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형과 함수 $g \left( t \right)$의 함숫값은 다음과 같다. (ⅰ) $b < b ^{2} - a ^{2} < b ^{2}$

(ⅱ) $b = b ^{2} - a ^{2} < b ^{2}$

(ⅲ) $b ^{2} - a ^{2} < b < b ^{2}$

(ⅳ) $b ^{2} - a ^{2} < b = b ^{2} \left( b = 1 \right)$

(ⅴ) $b ^{2} - a ^{2} < b ^{2} < b$

(ⅰ) $b > 1$, $b ^{2} - a ^{2} > b$인 경우 $\left( b ^{2} > b \right)$

$b < t < b ^{2} - a ^{2}$에서 $g \left( t \right) = 1$이므로 함수 $g ( t )$의 최솟값이 $\mathrm{2}$임을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $b > 1$, $b ^{2} - a ^{2} = b$인 경우 $\left( b ^{2} > b \right)$

$\displaystyle \left| \lim\limits _{t \rightarrow \alpha -} {} g \left( t \right) - \lim\limits _{t \rightarrow \alpha +} {} g \left( t \right) \right| = 2$를 만족시키는 실수 $\alpha$가 존재하지 않으므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $b > 1$, $b ^{2} - a ^{2} < b$인 경우 $\left( b ^{2} > b \right)$

조건 (가)를 만족시키는 $\alpha = b ^{2} - a ^{2}$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b ^{2} -} {} g \left( t \right) - \lim\limits _{t \rightarrow b ^{2} +} {} g \left( t \right) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$, $g \left( b ^{2} \right) = 2$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b ^{2} -} {} g \left( t \right) - \lim\limits _{t \rightarrow b ^{2} +} {} g \left( t \right) + 1 = g \left( b ^{2} \right)$이므로 조건 (나)를 만족시키는 $\beta = b ^{2}$$g ( \alpha ) = 3$, $g ( \beta ) = 2$이므로 조건 (다)를 만족시킨다. (ⅳ) $b = 1$인 경우 $\left( b ^{2} = b = 1 \right)$

조건 (가)를 만족시키는 $\alpha = 1$ 또는 $\alpha = 1 - a ^{2}$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {} g \left( t \right) - \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {} g \left( t \right) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$, $g \left( 1 \right) = 3$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {} g \left( t \right) - \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} {} g \left( t \right) + 1 = g \left( 1 \right)$이므로 조건 (나)를 만족시키는 $\beta = 1$ $g ( 1 ) = g \left( 1 - a ^{2} \right) = 3$이므로 $g ( \alpha ) = g ( \beta ) = 3$ 조건 (다)를 만족시키지 않는다. (ⅴ) $0 < b < 1$인 경우 $\left( b ^{2} < b \right)$

조건 (가)를 만족시키는 $\alpha = b ^{2} - a ^{2}$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \beta -} {} g \left( t \right) - \lim\limits _{t \rightarrow \beta +} {} g \left( t \right) + 1 = g \left( \beta \right)$를 만족시키는 실수 $\beta$가 존재하지 않으므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅰ)$\sim$(ⅴ)에 의해 $b > 1$, $b ^{2} - a ^{2} < b$이다. $f ( a ) = b ^{2} - a ^{2} = \alpha$, $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) = \alpha$이므로 $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) = f \left( a \right)$, $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \alpha = b ^{2} - \frac{1}{4}$ $\displaystyle \alpha + 24 \beta = b ^{2} - \frac{1}{4} + 24 \times b ^{2} = 30$, $\displaystyle b ^{2} = \frac{121}{100}$ $b > 1$이므로 $\displaystyle b = \frac{11}{10}$ $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \left| - \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{11}{10} \right| & & \left( x \leq 0 \right) \\ x ^{2} - x + \frac{121}{100} & & \left( x > 0 \right) \end{cases}}$ $f ( - 2 ) + f ( 1 )$$\displaystyle = \left| - 2 + \frac{11}{10} \right| + \frac{121}{100}$$\displaystyle = \frac{9}{10} + \frac{121}{100} = \frac{211}{100}$ 따라서 $p + q = 100 + 211 = 311$