교점 개수 극한

$\displaystyle f ( x ) = \left| \frac{kx}{x - 1} \right| = \left| \frac{k}{x - 1} + k \right|$이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

ⅰ) $t < 0$일 때 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = t$는 만나지 않으므로 $g ( t ) = 0$ ⅱ) $t = 0$ 또는 $t = k$일 때 곡선 $y = f ( x )$와 $y = t$는 한 점에서 만나므로 $g ( t ) = 1$ ⅲ) $0 < t < k$ 또는 $t > k$일 때 곡선 $y = f ( x )$와 $y = t$는 두 점에서 만나므로 $g ( t ) = 2$ ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 함수 $g ( t )$는 $\displaystyle g ( t ) = {\begin{cases} 0 _{{} _{{} _{}}} & ( t < 0 ) _{{} _{{} _{}}} \\ 1 _{{} _{{} _{}}} & ( t = 0 \text{또는} t = k ) _{{} _{{} _{}}} \\ 2 & ( 0 < t < k \text{또는} t > k ) \end{cases}}$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {g ( t ) = 2}$이고, 모든 양수 $a$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow a -} {g ( t ) = 2}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 -} {g ( t ) = 2}$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {g ( t ) + \lim\limits _{t \rightarrow 2 -} {g ( t ) + g ( 4 ) = 5}}$에서 $g ( 4 ) = 1$이므로 $k = 4$ 따라서 $\displaystyle f ( 3 ) = \left| \frac{4 \times 3}{3 - 1} \right| = 6$