교환자와 행렬 집합

[출제의도] 행렬의 성질을 이용한 참ㆍ거짓 찾기 ㄱ. $A , B \in M _{0}$이면 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a _{11} & 0 \\ 0 & a _{22} \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} b _{11} & 0 \\ 0 & b _{22} \end{pmatrix}$이므로 $AB = BA$이다. $\therefore C ( A , B ) = O$ (참) ㄴ. $| k | \geq 2$이면 임의의 $i , j = 1 , 2$에 대하여 $i - j \ne k$ 이므로 $a _{ij} = 0$이다. 즉 $A \in M _{k}$이면 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$뿐이다. (거짓) ㄷ. $| k | < 2$이면 $k = 0 , 1 , - 1$이다. $k = 0$이면 ㄱ에 의해서 참. $k = 1$이면 두 행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ a _{21} & 0 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b _{21} & 0 \end{pmatrix}$이므로 $AB = BA$이고 $k = - 1$이면 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & a _{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} 0 & b _{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$이므로 $AB = BA$이다. $\therefore C ( A , B ) = O$(참)