교환 가능한 행렬 집합

[출제의도] 행렬의 성질 이해하기 $A \in S$, $B \in S$이므로 ㄱ. $\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} AB = A {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} B = AB {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$이므로 $AB \in S$ (참) ㄴ. $\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} A = A {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$의 양변에 $A ^{- 1}$을 곱하면 $\displaystyle A ^{- 1} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} A = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$이다. 또 양변에 $A ^{- 1}$을 곱하면 $\displaystyle A ^{- 1} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} A ^{- 1}$이므로 $A ^{- 1} \in S$ (참) ㄷ. 행렬 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} \in S$라 하면 $\displaystyle \left. \begin{array}{lll} \left. \begin{array}{lll} {\begin{pmatrix} 1 _{} & 0 \\ 1 ^{} & 1 \end{pmatrix}} A = A {\begin{pmatrix} 1 _{} & 0 \\ 1 ^{} & 1 \end{pmatrix}} \end{array} \right. \end{array} \right.$을 만족하는 행렬은 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & a \end{pmatrix}}$ $A ^{2} = A$를 만족하려면 $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & a \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & a \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a ^{2} & 0 \\ 2 ac & a ^{2} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & a \end{pmatrix}} = A$ $a ^{2} = a$, $2 ac = c$이므로 $\displaystyle {\begin{cases} a = 0 \\ c = 0 \end{cases}}$ 또는 $\displaystyle {\begin{cases} a = 1 \\ c = 0 \end{cases}}$이다. 따라서 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$ 또는 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}$ (거짓)