교환 가능한 행렬 보기

[출제의도] 주어진 조건에 맞는 행렬의 성질을 추론한다. ㄱ. $A \in S$, $B \in S$이므로 $AP = PA$, $BP = PB$이다. 따라서 $( AB ) P = A ( BP ) = A ( PB )$ $= ( AP ) B = ( PA ) B = P ( AB )$ $\therefore$$AB \in S$ (참) ㄴ. $A \in S$에 대하여 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$라 하자. $\displaystyle AP = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - 2 & - 1 \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} a - 2 b & - b \\ c - 2 d & - d \end{pmatrix}}$ $\displaystyle PA = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - 2 & - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} a & b \\ - 2 a - c & - 2 b - d \end{pmatrix}}$ 따라서 $AP = PA$이므로 $b = 0$, $d = a + c$ (참) ㄷ. ㄴ에 의해 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & a + c \end{pmatrix}}$, $\displaystyle B = {\begin{pmatrix} p & 0 \\ r & p + r \end{pmatrix}}$라 놓을 수 있다. 그러면 $\displaystyle AB = {\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & a + c \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} p & 0 \\ r & p + r \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} ap & 0 \\ cp + ( a + c ) r & ( a + c ) ( p + r ) \end{pmatrix}}$ $\displaystyle BA = {\begin{pmatrix} p & 0 \\ r & p + r \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & a + c \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} pa & 0 \\ ra + ( p + r ) c & ( p + r ) ( a + c ) \end{pmatrix}}$ $\therefore$$AB = BA$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.