미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=1a _{1} = 1, an+an+1=3a _{n} + a _{n + 1} = 3 (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots)을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. a11=1a _{11} = 1 ㄴ. lim⁡n→∞a2n=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{2 n} = 2 ㄷ. lim⁡n→∞1n∑k=1nak=32\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \frac{3}{2}

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

주어진 식을 이용하여 각 항을 차례로 나열하면 1,2,1,2,1,2,⋯1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , \cdots ㄱ. nn이 홀수이면 an=1a _{n} = 1이므로 a11=1a _{11} = 1이다. (참) ㄴ. a2n=2a _{2 n} = 2이므로 lim⁡n→∞a2n=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{2 n} = 2이다. (참) ㄷ. n=2mn = 2 m (mm은 자연수)일 때 lim⁡n→∞1n∑k=1nak=lim⁡m→∞12m∑k=12mak=lim⁡m→∞3m2m=32\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}} = \lim\limits _{m \rightarrow \infty} {\frac{1}{2 m} \sum\limits _{k = 1} ^{2 m} a _{k}} = \lim\limits _{m \rightarrow \infty} {\frac{3 m}{2 m} = \frac{3}{2}} n=2m−1n = 2 m - 1 (mm은 자연수)일 때 lim⁡n→∞1n∑k=1nak=lim⁡m→∞12m−1∑k=12m−1ak=lim⁡m→∞3m−22m−1=32\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}} = \lim\limits _{m \rightarrow \infty} {\frac{1}{2 m - 1} \sum\limits _{k = 1} ^{2 m - 1} a _{k}} = \lim\limits _{m \rightarrow \infty} {\frac{3 m - 2}{2 m - 1} = \frac{3}{2}} ∴ lim⁡n→∞1n∑k=1nak=32\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}} = \frac{3}{2} (참)

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