겹친 넓이의 변화율

[출제의도] 도함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

그림과 같이 원 $\mathrm{O}$의 $t$초 후의 중심을 $\mathrm{O}'$, 원과 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 교점을 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하고, $\mathrm{\angle} PO' Q = \theta$라 하면 $\cos \theta = 1 - t$ 에서 $\displaystyle - \sin \theta \frac{d \theta}{dt} = - 1$이다. 원과 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 겹치는 부분의 넓이 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{2} ( 1 - t ) \sin \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{2} \cos \theta \sin \theta = \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{4} \sin 2 \theta$ $\displaystyle \frac{d S}{dt} = \frac{dS}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \theta \right) \frac{1}{\sin \theta}$ 원 $\mathrm{O}$의 중심이 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , 0 \right)$을 지나는 순간은 $\displaystyle t = \frac{1}{2}$이다. $\displaystyle t = \frac{1}{2}$일 때, $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$이다. $\therefore$원 $\mathrm{O}$의 중심이 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , 0 \right)$을 지나는 순간 넓이 $S$의 시간(초)에 대한 변화율은$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$