미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

경우의 수 극한

문제

11부터 2n2 n까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 2n2 n장의 카드가 있다. 이 중 세 장의 카드를 동시에 뽑을 때, 세 장의 카드에 적힌 수의 합이 짝수가 되도록 뽑는 경우의 수를 ana _{n}이라 하자. lim⁡n→∞ann3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n ^{3}}}의 값은? (단, n≥2n \geq 2인 자연수이다.) [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②23\displaystyle \frac{2}{3}③56\displaystyle \frac{5}{6}④11⑤76\displaystyle \frac{7}{6}

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②

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해설

[출제의도] 경우의 수를 이용하여 수열의 일반항을 구하고 수열의 극한값을 구한다. 2n2 n장의 카드에서 세 장의 카드를 동시에 뽑을 때, 세 장의 카드에 적힌 수의 합이 짝수인 경우는 세 수 모두 짝수인 경우와 세 수 중 두 수는 홀수이고 나머지 한 수는 짝수인 경우가 있다. ⅰ) 세 수가 모두 짝수인 경우의 수는 짝수 nn개 중 3개를 택하는 경우의 수이므로 nC3=n(n−1)(n−2)3!\displaystyle {} _{n} \mathrm{C} _{3} = \frac{\mathit{n \left( n - 1 \right) \left( n - 2 \right)}}{3 !}=n(n−1)(n−2)6\displaystyle = \frac{\mathit{n \left( n - 1 \right) \left( n - 2 \right)}}{6} ⅱ) 세 수 중 두 수는 홀수이고 나머지 한 수는 짝수인 경우의 수는 홀수 nn개 중 22개를 택하고 짝수 nn개 중 한 개를 택하는 경우의 수이므로 nC2×nC1{} _{n} \mathrm{C} _{2} \times _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{1}=n(n−1)2!×n\displaystyle = \frac{n \left( n - 1 \right)}{2 !} \times n=n2(n−1)2\displaystyle = \frac{n ^{2} \left( n - 1 \right)}{2} ⅰ), ⅱ)에서 an=n(n−1)(n−2)6+n2(n−1)2\displaystyle a _{n} = \frac{n \left( n - 1 \right) \left( n - 2 \right)}{6} + \frac{n ^{2} \left( n - 1 \right)}{2} =n(n−1)(n−2+3n)6\displaystyle = \frac{n \left( n - 1 \right) \left( n - 2 + 3 n \right)}{6} =n(n−1)(2n−1)3\displaystyle = \frac{n \left( n - 1 \right) \left( 2 n - 1 \right)}{3} ∴ lim⁡n→∞ann3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n ^{3}}}=lim⁡n→∞n(n−1)(2n−1)3n3\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n \left( n - 1 \right) \left( 2 n - 1 \right)}{3 n ^{3}}} =lim⁡n→∞(1−1n)(2−1n)3\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 2 - \frac{1}{n} \right)}{3}} =23\displaystyle = \frac{2}{3}

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