공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

경기 행렬의 제곱

문제

$2$ 일 동안 $5$ 개의 팀 $\mathrm{P} _{1}$ , $\mathrm{P} _{2}$ , $\mathrm{P} _{3}$ , $\mathrm{P} _{4}$ , $\mathrm{P} _{5}$ 가 서로 한 번씩 경기를 하는데, 첫째 날 경기가 모두 끝난 후 $5$ 차정사각행렬 $M$ 의 $( i , j )$ 성분 $a _{ij}$ 를

$\displaystyle \mathit{a} \mathit{\mathrm{_{ij}}} = {\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}}$	$1$ $($ $i \ne j$ 이고 $\mathrm{P} _{\mathit{i}}$ 와 $\mathrm{P} _{\mathit{j}}$ 의 경기가 끝난 경우 $)$
	$0$ $($ $i \ne j$ 이고 $\mathrm{P} _{\mathit{i}}$ 와 $\mathrm{P} _{\mathit{j}}$ 의 경기가 남은 경우 $)$
	$0$ $($ $i = j$ 인 경우 $)$

으로 정의할 때, 다음은 행렬 $M ^{2}$ 을 나타낸 것이다. $\displaystyle M ^{2} = {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}}$ 이때, 둘째 날 해야 할 경기의 수는? (단, $i = 1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $j = 1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ ) [4점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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③

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해설

[출제의도] 그래프와 행렬을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기 행렬 $M ^{2}$ 의 $\left( i , i \right)$ 성분은 첫째 날 각 팀의 끝난 경기의 수이다. (행렬 $M ^{2}$ 의 모든 $\left( i , i \right)$ 성분의 합) $=$ (첫째 날 끝난 모든 경기의 수)× $2$ (첫째 날 끝난 모든 경기의 수) $\displaystyle = \frac{( \text{행렬} M ^{2} \text{의} \text{모든} ( i , i ) \text{성분이} \text{합} )}{2}$ $\displaystyle = \frac{2 + 3 + 3 + 3 + 3}{2} = 7$ 총 경기의 수는 $\mathrm{_{5}} \mathrm{C} _{2} = 10$ 이므로 둘째 날 해야 할 경기의 경우의 수는 $10 - 7 = 3$ 이다. (참고)

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