미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

격자점 삼각형 넓이 극한

문제

좌표평면에서 직선 $y = 2 x$ 위의 점들 중 제 $1$ 사분면에 있는 격자점을 원점 $\mathrm{O}$ 에 가까운 쪽부터 $\mathrm{A} _{1,} A _{2,} A _{3,} \cdots$ 라 하고 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$ 위의 점들 중 제 $1$ 사분면에 있는 격자점을 $\mathrm{O}$ 에 가까운 쪽부터 $\mathrm{B} _{1,} B _{2,} B _{3,} \cdots$ 이라 하자. 삼각형 $\mathrm{OA} _{\mathit{k}} B _{\mathit{k}}$ 의 넓이를 $S _{k}$ ( $k = 1 , 2 , 3 , \cdots$ )라 하고, $\displaystyle \alpha = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{1} + S _{2} + S _{3} + \cdots S _{n}}{n ^{3}}}$ 일 때, $60 \alpha$ 의 값을 구하시오. (단, 격자점이란 $x$ 좌표 $y$ 좌표가 모두 정수인 점을 뜻한다.) [4점]

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30

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해설

[출제의도] 좌표평면상에서 삼각형의 넓이를 활용하여 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $A _{k} ( k , 2 k ) , B _{k} ( 2 k , k )$ (단, $k$ 는 정수) 라 하면 $\displaystyle \overline{OB} _{k} = \sqrt{4 k ^{2} + k ^{2}} = \sqrt{5} k$ $A _{k} ( k , 2 k )$ 에서 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$ 까지의 거리는 $\displaystyle h = \frac{| k - 4 k |}{\sqrt{5}} = \frac{| 3 k |}{\sqrt{5}}$ 이다. 따라서 삼각형의 넓이 $\displaystyle S _{k} = \frac{3}{2} k ^{2}$ 이다. $\displaystyle \alpha = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\sum\limits _{k=1} ^{n} S _{k}}{n ^{3}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{1}{4} n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{n ^{3}}} = \frac{1}{2}$ $\therefore 60 \alpha = 30$

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