격자점 개수 극한

[13~14] 그림은 두 곡선 $y = x ^{2}$, $\displaystyle y = \frac{1}{4} x ^{2}$과 꼭짓점의 좌표가 $O ( 0 , 0 )$, $A ( n , 0 )$, $B \left( n , n ^{2} \right)$, $C \left( 0 , n ^{2} \right)$인 직사각형 $OABC$를 나타낸 것이다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, $n$은 자연수이다.)

자연수 $n$에 대하여, $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점 중에서 직사각형 $OABC$ 또는 그 내부에 있고 부등식 $y \geq x ^{2}$을 만족시키는 모든 점의 개수를 $a _{n}$이라 하자. $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{n ^{3}}$의 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{1}{2}$②$\displaystyle \frac{7}{12}$③$\displaystyle \frac{2}{3}$④$\displaystyle \frac{3}{4}$⑤$\displaystyle \frac{5}{6}$