격자점 개수 비의 극한

다음과 같이 좌표평면 위에 단계별로 $x$좌표와 $y$좌표가 음이 아닌 정수인 점을 표시한다. [$1$단계]에서는 원점과 $x$좌표와 $y$좌표의 합이 $1$인 점들을 표시하고, [$2$단계]에서는 [$1$단계]의 점에 $x$좌표와 $y$좌표의 합이 $2$인 점들을 추가로 표시한다. 이와 같은 방법으로 [$n$단계]에서는 [$n - 1$단계]의 점에 $x$좌표와 $y$좌표의 합이 $n$$( n = 2 , 3 , 4 , \cdots )$인 점들을 추가로 표시한다.

이때, [$n$단계]에 있는 모든 점의 개수를 $a _{n}$, [$n$단계]에 있는 점들을 꼭지점으로 하는 정사각형 중에서 원점을 한 꼭지점으로 하고 넓이가 최대인 정사각형의 내부 및 둘레에 있는 모든 점의 개수를 $b _{n}$이라 하자. 예를 들어 $a _{4} = 15 , b _{4} = 9$이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{2 n}}{b _{2 n}}}$의 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{5}{2}$②$2$③$\displaystyle \frac{3}{2}$④$\displaystyle \frac{4}{3}$⑤$1$