확률과 통계조건부확률수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

격자 순서쌍 조건부확률

문제

자연수 n(n≥3)n ( n \geq 3 )에 대하여 집합 AA를 A={(x,y)∣1≤x≤y≤n,xA = \{ \mathit{(} x , y ) | 1 \leq x \leq y \leq n , x와 yy는 자연수}\} 라 하자. 집합 AA에서 임의로 선택된 한 개의 원소 (a,b)( a , b )에 대하여 bb가 33의 배수일 때, a=ba = b일 확률이 19\displaystyle \frac{1}{9}이 되도록 하는 모든 자연수 nn의 값의 합을 구하시오. [4점]

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해설

n=3kn = 3 k(kk는 자연수)로 놓고 k=1,2,3,⋯k = 1 , 2 , 3 , \cdots 를 차례대로 대입하여 판단하면 n=3kn = 3 k 일 때 bb가 33의 배수인 경우의 수는 3+6+9⋯+3k3 + 6 + 9 \cdots + 3 k 이 때 a=ba = b인 경우의 수는 kk개이므로 bb가 3의 배수일 때 a=ba = b인 확률은 k3+6+9+⋯+3k=19\displaystyle \frac{k}{3 + 6 + 9 + \cdots + 3 k} = \frac{1}{9}이므로 k3+6+9+⋯+3k=k3(k(k+1)2)=23(k+1)=19\displaystyle \frac{k}{3 + 6 + 9 + \cdots + 3 k} = \frac{k}{3 \left( \frac{k ( k + 1 )}{2} \right)} = \frac{2}{3 ( k + 1 )} = \frac{1}{9} ∴k=5k = 5 그러므로 33의 배수 중 bb가 33의 배수일 때 a=ba = b인 확률이 19\displaystyle \frac{1}{9}인 경우는 n=15n = 15일 때이다. 따라서 n=15,16,17n = 15 , 16 , 17일 때 확률이 19\displaystyle \frac{1}{9}이다.

태그

#조건부확률#수열의 합

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