격자 정사각형 개수 극한

[출제의도] 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 추론하여 수열의 극한값을 구한다. $S _{n + 1} - S _{n}$의 값은 $2 n - 1 \leq x < 2 n + 1$에서 조건을 만족시키는 정사각형의 개수와 같다. $f \left( x \right) = x ^{2}$, $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{2} x ^{2}$이라 하자.

(ⅰ) $2 n - 1 \leq x < 2 n$일 때, $f \left( 2 n \right)$$= \left( 2 n \right) ^{2}$$= 4 n ^{2}$, $g \left( 2 n - 1 \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 2 n - 1 \right) ^{2}$$\displaystyle = 2 n ^{2} - 2 n + \frac{1}{2}$ 이므로 조건을 만족시키는 정사각형의 개수는 $2 n ^{2} - 2 n$보다 크거나 같고 $4 n ^{2}$보다 작은 자연수의 개수와 같다. 즉, 정사각형의 개수는 $4 n ^{2} - \left( 2 n ^{2} - 2 n \right)$$= 2 n ^{2} + 2 n$ (ⅱ) $2 n \leq x < 2 n + 1$일 때, $f \left( 2 n + 1 \right)$$= \left( 2 n + 1 \right) ^{2}$$= 4 n ^{2} + 4 n + 1$, $g \left( 2 n \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 2 n \right) ^{2}$$= 2 n ^{2}$ 이므로 조건을 만족시키는 정사각형의 개수는 $2 n ^{2}$보다 크거나 같고 $4 n ^{2} + 4 n + 1$보다 작은 자연수의 개수와 같다. 즉, 정사각형의 개수는 $\left( 4 n ^{2} + 4 n + 1 \right) - 2 n ^{2}$$= 2 n ^{2} + 4 n + 1$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $S _{n + 1} - S _{n}$$= \left( 2 n ^{2} + 2 n \right) + \left( 2 n ^{2} + 4 n + 1 \right)$$= 4 n ^{2} + 6 n + 1$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n + 1} - S _{n}}{n ^{2}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{4 n ^{2} + 6 n + 1}{n ^{2}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 4 + \frac{6}{n} + \frac{1}{n ^{2}} \right)}$$= 4$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n + 1} - S _{n}}{n ^{2}}}$$= 4$ [다른 풀이] 자연수 $m$에 대하여 $2 m - 2 < x < 2 m - 1$과 $\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} < y < x ^{2}$에서 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 $a _{2 m - 1}$이라 하면 $a _{2 m - 1}$$\displaystyle = ( 2 m - 1 ) ^{2} - {\frac{( 2 m - 2 ) ^{2}}{2}}$$= 2 m ^{2} - 1$ $2 m - 1 \leq x < 2 m$과 $\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} < y < x ^{2}$에서 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 $a _{2 m}$이라 하면 $\displaystyle a _{2m} = ( 2 m ) ^{2} - \frac{( 2 m - 1 ) ^{2} - 1}{2}$$= 2 m ^{2} + 2 m$ 그러므로 $S _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{m = 1} ^{n - 1} \left( 2 m ^{2} + 2 m \right) + \sum\limits _{m = 1} ^{n} \left( 2 m ^{2} - 1 \right)$$\displaystyle = \frac{n ( 4 n ^{2} + 2 )}{3} + n ^{2} - 2 n$ $S _{n+1} - S _{n}$$\displaystyle = \frac{( n + 1 ) \left\{ 4 ( n + 1 ) ^{2} + 2 \right\}}{3} + ( n + 1 ) ^{2} - 2 ( n + 1 )$ $\displaystyle - \left\{ \frac{n ( 4 n ^{2} + 2 )}{3} + n ^{2} - 2 n \right\}$ $= 4 n ^{2} + 6 n + 1$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{S _{n + 1} - S _{n}}{n ^{2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{4 n ^{2} + 6 n + 1}{n ^{2}}$$= 4$