계단 경로 위 점의 규칙

좌표평면에서 그림과 같이 길이가 $1$인 선분이 수직으로 만나도록 연결된 경로가 있다. 이 경로를 따라 원점에서 멀어지도록 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 위치를 나타내는 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$을 다음과 같은 규칙으로 정한다. (i) $\mathrm{A} _{\mathit{0}}$은 원점이다. (ii) $n$이 자연수일 때, $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$은 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n} - 1}$에서 점 $\mathrm{P}$가 경로를 따라 $\displaystyle \frac{2 n - 1}{25}$만큼 이동한 위치에 있는 점이다.

예를 들어, 점 $\mathrm{A} _{2}$와 $\mathrm{A} _{6}$의 좌표는 각각 $\displaystyle \left( \frac{4}{25} , 0 \right) , \left( 1 , \frac{11}{25} \right)$이다. 자연수 $n$에 대하여 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$중 직선 $y = x$위에 있는 점을 원점에서 가까운 순서대로 나열할 때, 두 번째 점의 $x$좌표를 $a$라 하자. $a$의 값을 구하시오. [4점]