귀납적 수열의 첫째항

자연수 $k$에 대하여 $a _{n + 1} = 3 k$ 또는 $a _{n + 1} = 3 k - 1$ ($k$는 자연수)이면 $a _{n + 1} \ne 3 a _{n} + 1$이므로 $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{a _{n}}{n}$, $a _{n} = na _{n + 1}$이다. $a _{6} = 2 = 3 \times 1 - 1$이므로 $a _{5} = 5 \times 2 = 10$ $10 = 3 \times 3 + 1$이므로 $a _{4} = 3$ 또는 $a _{4} = 4 \times 10 = 40$ (ⅰ) $a _{4} = 3$인 경우, $3 = 3 \times 1$이므로 $a _{3} = 3 \times 3 = 9$, $a _{2} = 2 \times 9 = 18$, $a _{1} = 18$ (ⅱ) $a _{4} = 40$인 경우, $40 = 3 \times 13 + 1$이므로 $a _{3} = 13$ 또는 $a _{3} = 3 \times 40 = 120$ ① $a _{3} = 13$인 경우, $13 = 3 \times 4 + 1$이므로$a _{2} = 4$ 또는 $a _{2} = 2 \times 13 = 26$$a _{2} = 4$인 경우, $\mathrm{2}$는 $\mathrm{4}$의 약수이므로$\displaystyle a _{3} = \frac{4}{2} = 2$가 되어 $a _{3} \ne 13$이다. $a _{2} = 26$인 경우, $a _{1} = 26$ ② $a _{3} = 120$인 경우, $120 = 3 \times 40$이므로$a _{2} = 2 \times 120 = 240$, $a _{1} = 240$ (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $18 + 26 + 240 = 284$