귀납적 수열의 첫째항

$a _{1}$이 자연수이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{2} a _{n}$ 또는 $a _{n + 1} = \left( a _{n} - 1 \right) ^{2}$이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 모든 항은 음이 아닌 정수이다. $a _{n + 1}$의 값에 따라 가능한 $a _{n}$의 값은 다음과 같다. (ⅰ) $a _{n + 1} = \left( 2 k \right) ^{2}$인 자연수 $k$가 존재하는 경우 $\displaystyle a _{n} = \sqrt{a _{n + 1}} + 1$ 또는 $a _{n} = 2 a _{n + 1}$ (ⅱ) $a _{n + 1} = 1$인 경우, $a _{n} = 0$ 또는 $a _{n} = 2$ (ⅲ) $a _{n + 1} = 0$인 경우, $a _{n} = 1$ (ⅳ) 그 외의 경우, $a _{n} = 2 a _{n + 1}$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 $a _{7} = 1$이므로 $a _{6} = 0$ 또는 $a _{6} = 2$ (ⅰ) $a _{6} = 0$인 경우 $a _{5} = 1$이고 순서쌍 $\left( a _{4} , a _{3} , a _{2} , a _{1} \right)$은 $\left( 0 , 1 , 0 , 1 \right)$ 또는 $\left( 0 , 1 , 2 , 4 \right)$ 또는 $\left( 2 , 4 , 3 , 6 \right)$ 또는 $\left( 2 , 4 , 8 , 16 \right)$이므로 $a _{1} = 1$ 또는 $a _{1} = 4$ 또는 $a _{1} = 6$ 또는 $a _{1} = 16$ (ⅱ) $a _{6} = 2$인 경우 $a _{5} = 4$이고 순서쌍 $\left( a _{4} , a _{3} , a _{2} , a _{1} \right)$은 $\left( 3 , 6 , 12 , 24 \right)$ 또는 $\left( 8 , 16 , 5 , 10 \right)$ 또는 $\left( 8 , 16 , 32 , 64 \right)$이므로 $a _{1} = 24$ 또는 $a _{1} = 10$ 또는 $a _{1} = 64$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $1 + 4 + 16 + 6 + 24 + 10 + 64 = 125$