대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

귀납적 정의 수열 보기

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 다음과 같이 정의한다. a1=1a _{1} = 1, a2n=an+1a _{2 n} = a _{n} + 1, a2n+1=an−1a _{2n+1} = a _{n} - 1 (n=1,2,3,⋯ )( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. a6=1a _{6} = 1 ㄴ. n=2kn = 2 ^{k}(kk는 자연수)이면 an=k+1a _{n} = k + 1이다. ㄷ. n=2k+1n = 2 ^{k} + 1(kk는 자연수)이면 an=k−1a _{n} = k - 1이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 수열의 항을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. a6=a3+1=(a1−1)+1=1a _{6} = a _{3} + 1 = ( a _{1} - 1 ) + 1 = 1 (참) ㄴ. n=2kn = 2 ^{k}이면 an=a2k=a2k−1+1=a2k−2+2=⋯a _{n} = a _{2 ^{k}} = a _{2 ^{k - 1}} + 1 = a _{2 ^{k - 2}} + 2 = \cdots =a20+k=k+1= a _{2 ^{0}} + k = k + 1 (참) ㄷ. a2n=an+1,a2n+1=an−1a _{2 n} = a _{n} + 1 , a _{2 n + 1} = a _{n} - 1이므로 a2n−a2n+1=2a _{2 n} - a _{2 n + 1} = 2가 성립한다. ∴ a2k−a2k+1=2a _{2 ^{k}} - a _{2 ^{k} + 1} = 2 따라서 n=2k+1n = 2 ^{k} + 1일 때, ㄴ을 이용하면 an=a2k+1=a2k−2=(k+1)−2=k−1a _{n} = a _{2 ^{k} + 1} = a _{2 ^{k}} - 2 = ( k + 1 ) - 2 = k - 1 (참)

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