귀납적 정의 수열

수열의 귀납적 정의를 이용하여 수열의 항을 추론한다. $a _{6} = 2$이므로 $\displaystyle a _{6} = \frac{a _{5}}{5}$이고 $a _{5} = 10$ (ⅰ) $a _{4} \geq 3$인 경우 $\displaystyle a _{5} = \frac{a _{4}}{4}$이므로 $a _{4} = 4 a _{5} = 40$ $\displaystyle a _{4} = \frac{a _{3}}{3}$이므로 $a _{3} = 3 a _{4} = 120$ $\displaystyle a _{3} = \frac{a _{2}}{2}$이므로 $a _{2} = 2 a _{3} = 240$ $\displaystyle a _{2} = \frac{a _{1}}{1}$이므로 $a _{1} = a _{2} = 240$ (ⅱ) $a _{4} < 3$인 경우 $a _{4} \neq 10$이므로 $a _{3} \geq 3$ $\displaystyle a _{4} = \frac{a _{3}}{3}$, $a _{3} = 3 a _{4} < 9$ 그러므로 $3 \leq a _{3} < 9$ $a _{3} \neq 10$이므로 $\displaystyle a _{3} = \frac{a _{2}}{2}$, $a _{2} = 2 a _{3}$에서 $6 \leq a _{2} < 18$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ① $a _{1} \geq 3$이면 $\displaystyle a _{2} = \frac{a _{1}}{1}$, $a _{1} = a _{2}$이고 $a _{1}$이 자연수이므로 ㉠에서 $a _{1} = 6$, $7$, $\cdots$, $17$ ② $a _{1} < 3$이면 $a _{2} = 10$이므로 ㉠을 만족시킨다. $a _{1}$이 자연수이므로 $a _{1} = 1$ 또는 $a _{1} = 2$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a _{1}$의 값은 $1$, $2$, $6$, $7$, $8$, $\cdots$, $16$, $17$, $240$ 따라서 구하는 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $\displaystyle 1 + 2 + \sum\limits _{n = 6} ^{17} n + 240 = 381$