귀납법 부등식 증명

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명과정 추론하기 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdots \times \frac{2 n - 1}{2 n} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 1}}$$\cdots$(★) (i) $n = 1$일 때 $\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{4}}$ 이므로 (★)이 성립한다. (ii) $n = k$일 때 (★)이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdots \times \frac{2 k - 1}{2 k} \times \frac{2 k + 1}{2 k + 2}$ $\displaystyle \leq \frac{1}{\sqrt{3 k + 1}} \cdot \frac{2 k + 1}{2 k + 2}$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{3 k + 1}} \cdot \frac{1}{1 + \square {\frac{1}{2 k + 1}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{3 k + 1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left. \left( 1 + \square {\frac{1}{2 k + 1}} \right. \right) ^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{3 k + 1 + 2 \left( 3 k + 1 \right) \cdot \left( \square {\frac{1}{2 k + 1}} \right) + \left( 3 k + 1 \right) \cdot \left( \square {\frac{1}{2 k + 1}} \right) ^{2}}}$ $\displaystyle < \frac{1}{\sqrt{3 k + 1 + 2 \left( 3 k + 1 \right) \cdot \left( \square {\frac{1}{2 k + 1}} \right) + ( \square {2 k + 1} ) \cdot \left( \square {\frac{1}{2 k + 1}} \right) ^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{3 \left( k + 1 \right) + 1}}$ 따라서 $n = k + 1$일 때도 (★)이 성립한다. 그러므로 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 (★)이 성립한다. $\displaystyle f \left( k \right) = \frac{1}{2 k + 1}$, $g \left( k \right) = 2 k + 1$ $\displaystyle \therefore f \left( 4 \right) \times g \left( 13 \right) = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3$