대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

귀납법 빈칸

문제

다음은 모든 자연수 nn에 대하여 112+1314++12n112n=1n+1+1n+2++12n\displaystyle 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2 n} 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

ⅰ) n=1n = 1일 때, (좌변)==(우변)== (가) 이므로 주어진 등식은 성립한다. ⅱ) n=k(k1)n = k ( k \geq 1 )일 때, 성립한다고 가정하면 112+1314++12k112k\displaystyle 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k} =1k+1+1k+2++12k\displaystyle = \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \cdots + \frac{1}{2 k}이다. n=k+1n = k + 1일 때, 112+1314++12k112k+\displaystyle 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k} + (나)

=1k+1+1k+2++12k+\displaystyle = \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \cdots + \frac{1}{2 k} + (나)

=1k+2+1k+3++12k+1+\displaystyle = \frac{1}{k + 2} + \frac{1}{k + 3} + \cdots + \frac{1}{2 k + 1} + (다)

=1k+2+1k+3++12k+1+12k+2\displaystyle = \frac{1}{k + 2} + \frac{1}{k + 3} + \cdots + \frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}이다. 그러므로 n=k+1n = k + 1일 때도 성립한다. 따라서 ⅰ), ⅱ)에 의하여 모든 자연수 nn에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

이 증명에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [3점]

(가)(나)(다)
1112k+2\displaystyle \frac{1}{2 k + 2}12k12k+2\displaystyle \frac{1}{2 k} - \frac{1}{2 k + 2}
1112k+112k+2\displaystyle \frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 2}1k+112k+2\displaystyle \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{2 k + 2}
12\displaystyle \frac{1}{2}12k+2\displaystyle \frac{1}{2 k + 2}12k12k+2\displaystyle \frac{1}{2 k} - \frac{1}{2 k + 2}
12\displaystyle \frac{1}{2}12k+112k+2\displaystyle \frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 2}1k+112k+2\displaystyle \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{2 k + 2}
12\displaystyle \frac{1}{2}12k+112k+2\displaystyle \frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 2}12k12k+2\displaystyle \frac{1}{2 k} - \frac{1}{2 k + 2}
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해설

[출제의도] 수학적귀납법으로 증명하기 (가) 12\displaystyle \frac{1}{2} , (나) 12k+112k+2\displaystyle \frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 2} , (다) 1k+112k+2\displaystyle \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{2 k + 2}

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