다음은 모든 자연수 n에 대하여
1−21+31−41+⋯+2n−11−2n1=n+11+n+21+⋯+2n1
이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.
ⅰ) n=1일 때,
(좌변)=(우변)= (가)
이므로 주어진 등식은 성립한다.
ⅱ) n=k(k≥1)일 때, 성립한다고 가정하면
1−21+31−41+⋯+2k−11−2k1
=k+11+k+21+⋯+2k1이다.
n=k+1일 때,
1−21+31−41+⋯+2k−11−2k1+ (나)
=k+11+k+21+⋯+2k1+ (나)
=k+21+k+31+⋯+2k+11+ (다)
=k+21+k+31+⋯+2k+11+2k+21이다.
그러므로 n=k+1일 때도 성립한다.
따라서 ⅰ), ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식은 성립한다.
이 증명에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은?
[3점]
| (가) | (나) | (다) |
| ① | 1 | 2k+21 | 2k1−2k+21 |
| ② | 1 | 2k+11−2k+21 | k+11−2k+21 |
| ③ | 21 | 2k+21 | 2k1−2k+21 |
| ④ | 21 | 2k+11−2k+21 | k+11−2k+21 |
| ⑤ | 21 | 2k+11−2k+21 | 2k1−2k+21 |