공통수학2집합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

귀납 정의 집합 보기

문제

nn이 자연수일 때, 집합 AnA _{n}을 다음과 같이 정의한다. A1=∅A _{1} = \emptyset, An+1=An∪{An}A _{n+1} = A _{n} \cup \left\{ A _{n} \right\} 예를 들어 A2={∅}A _{2} = \left\{ \emptyset \right\}, A3={∅,{∅}}A _{3} = \left\{ \emptyset , \left\{ \emptyset \right\} \right\}이다. 이 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, ∅\emptyset는 공집합) [4점]

〈 보 기 〉
ㄱ. A4={∅,{∅},{∅,{∅}}}A _{4} = \left\{ \emptyset , \left\{ \emptyset \right\} , \left\{ \emptyset , \left\{ \emptyset \right\} \right\} \right\} ㄴ. An∈An+1A _{n} \in A _{n+1} ㄷ. An+1={A1,A2,A3,⋯ ,An}A _{n+1} = \left\{ A _{1} , A _{2} , A _{3} , \cdots , A _{n} \right\}

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ\text{ㄷ}

정답 보기
⑤

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해설

[출제 의도] 집합의 포함관계를 따지고 부분집합의 개수를 구할 수 있다. An+1=An∪{An}A _{n+1} = A _{n} \cup \left\{ A _{n} \right\}에서 ㄱ. A4=A3∪{A3}A _{4} = A _{3} \cup \left\{ A _{3} \right\}이므로 A4={∅,{∅},{∅,{∅}}}A _{4} = \left\{ \emptyset , \left\{ \emptyset \right\} , \left\{ \emptyset , \left\{ \emptyset \right\} \right\} \right\} ∴참 ㄴ. An∈An+1A _{n} \in A _{n+1} ∴참 ㄷ. A2={∅}={A1}A _{2} = \left\{ \emptyset \right\} = \left\{ A _{1} \right\} A3={∅,{∅}}={A1,A2}A _{3} = \left\{ \emptyset , \left\{ \emptyset \right\} \right\} = \left\{ A _{1} , A _{2} \right\} A4={∅,{∅},{∅,{∅}}}={A1,A2,A3}A _{4} = \left\{ \emptyset , \left\{ \emptyset \right\} , \left\{ \emptyset , \left\{ \emptyset \right\} \right\} \right\} = \left\{ A _{1} , A _{2} , A _{3} \right\} ⋮\vdots An+1={A1,A2,A3,⋯ ,An}A _{n+1} = \left\{ A _{1} , A _{2} , A _{3} , \cdots , A _{n} \right\} ∴참 [참고] ㄴ에서 An∈An+1A _{n} \in A _{n+1}도 되지만 An⊂An+1A _{n} \subset A _{n+1}도 된다.

태그

#집합#원소와 부분집합

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