미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

관람차 거리 변화율

문제

그림과 같이 지면에서 회전 중심 O\mathrm{O}까지의 높이가 13m13 \mathrm{m}이고 반지름의 길이가 11m11 \mathrm{m}인 원 모양의 관람차가 1(rad/분)1 ( \mathrm{rad} / \text{분} )의 일정한 속력으로 시계반대방향으로 돌고 있다. 1212개의 관람차량 중 한 차량에 탑승하고 있는 칠수가 A\mathrm{A}지점을 통과하는 순간 점 H\mathrm{H}와 칠수 사이의 거리의 시간에 대한 변화율은 k(m/분)k ( \mathrm{m} / \text{분} )이다. kk의 값은? (단, 점 H\mathrm{H}는 중심 O\mathrm{O}에서 지면에 내린 수선의 발, ∠AOH=60∘\angle \mathrm{AOH} = 60 ^\circ, 관람차량의 크기는 무시한다.) [4점]

①12114\displaystyle \frac{121}{14}②13714\displaystyle \frac{137}{14}③14314\displaystyle \frac{143}{14}④15714\displaystyle \frac{157}{14}⑤16914\displaystyle \frac{169}{14}

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③

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해설

[출제의도] 거리의 시간에 대한 변화율을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 지면을 xx축, 직선 OH\mathrm{OH}를 yy축, 점 H\mathrm{H}를 원점으로 하는 좌표평면을 잡으면 tt초 후 회전한 각은 tt이므로 칠수의 위치는 (11sin⁡t,13−11cos⁡t)( 11 \sin t , 13 - 11 \cos t )이고, 원점과 칠수 사이의 거리 d(t)d ( t )는 d(t)=290−2⋅11⋅13cos⁡t\displaystyle d ( t ) = \sqrt{290 - 2 \cdot 11 \cdot 13 \cos t}이다. 칠수가 회전한 각은 t=π3\displaystyle t = \frac{\pi}{3}이므로 d′(π3)=k=14314\displaystyle d' \left( \frac{\pi}{3} \right) = k = \frac{143}{14}이다.

태그

#변화율#삼각함수 미분

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