기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

광선 그림자와 정사영

문제

좌표공간에서 평면 y=(tan⁡75∘)xy = ( \tan 75 ^\circ ) x 위의 도형 SS를 벡터 v⃗=(1,−1,0)\vec{v} = ( 1 , - 1 , 0 )에 평행한 광선으로 비추었더니, zxzx평면에 나타난 도형 SS의 그림자는 중심이 (4,0,0)( 4 , 0 , 0 )이고 반지름의 길이가 33인 원이 되었다. 이 때, 도형 SS의 넓이는? [4점] ①33π\displaystyle 3 \sqrt{3} \pi②43π\displaystyle 4 \sqrt{3} \pi③964π\displaystyle \frac{9 \sqrt{6}}{4} \pi④36π\displaystyle 3 \sqrt{6} \pi⑤962π\displaystyle \frac{9 \sqrt{6}}{2} \pi

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④

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해설

y=(tan⁡75∘)xy = \left( \tan 75 ^\circ \right) x를 α\alpha, v⃗\vec{v}에 수직인 평면은 β:x−y+d=0\beta : x - y + d = 0라 두고. z=0z = 0이라는 평면으로 잘랐을 때의 단면은 다음과 같다.

그림에서 보면 알 수 있듯이 β\beta평면의 위치에 관계없이 S\mathrm{S}와 zxzx평면 위의 그림자의 β\beta평면 위로의 정사영의 크기가 일정하므로 β:y=x\beta : y = x라 둬도 무방하다. 여기서, zxzx평면위의 그림자의 넓이를 A\mathrm{A}, β\beta평면 위의 정사영의 넓이를 S′\mathrm{S}'이라 두면 S′=Scos⁡θ=Acos⁡θ′\mathrm{S}' = S \cos {\theta} = A \cos {\theta'} A=9π,θ=30∘,θ′=45∘\mathrm{A} = 9 \pi , \theta = 30 ^\circ , \theta' = 45 ^\circ이므로 S⋅32=9π⋅22\displaystyle \mathrm{S} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}이다 ∴S=36π\displaystyle \therefore \mathrm{S} = 3 \sqrt{6} \pi

태그

#정사영#그림자#이면각

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