구와 z축 교점

구가 $x$축과 만나는 한 점의 좌표를 $\mathrm{H}$라 하면 점 $\mathrm{H} ( \mathit{a} , 0 , 0 )$이다. 이때 선분 $\mathrm{AH}$의 길이가 반지름이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = \sqrt{0 + ( - 3 ) ^{2} + 4 ^{2}} = 5$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = 3 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{\mathit{a} ^{2} + 3 ^{2} + 4 ^{2}} = \sqrt{a ^{2} + 25} = \sqrt{27}$ $\displaystyle \therefore a = \sqrt{2}$ ($\because a > 0$) $z$축에 수선의 발을 내린 점을 $\mathrm{G}$라 하면 $\mathrm{G} ( 0 , 0 , 4 )$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AG}} = \sqrt{( \sqrt{2} ) ^{2} + ( - 3 ) ^{2} + 0} = \sqrt{11}$ $z$축에서 만나는 두 점을 $\mathrm{Q} , Q'$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{QQ}'} = 2 \overline{\mathrm{GQ}}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{GQ}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AQ}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AG}}} ^{2}$$= 25 - 11 = 14$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{GQ}} = \sqrt{14}$ 따라서 두 점 사이의 거리는 $\displaystyle 2 \sqrt{14}$