구와 평면이 만든 원

구의 중심 $\mathrm{O} ( 0 , 0 , 0 )$에서 평면 $\displaystyle \alpha : y - \sqrt{3} z = 2$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1 + 3}} = 1$이고 $\mathrm{C}$의 중심을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = 1$ $\mathrm{P} , Q$가 원 $\mathrm{C}$의 지름의 양 끝점이므로, $\mathrm{P} , Q$의 중점이 $\mathrm{C}$의 중심 $\mathrm{M}$이다. 따라서 원 $\mathrm{C}$의 반지름 $\displaystyle \overline{\mathrm{MQ}} = \sqrt{2 ^{2} - 1 ^{2}} = \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \overline{AQ}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} = \sqrt{6}$ 구의 중심 $\mathrm{O}$가 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{RQ}}$ 위에 존재하므로 $\mathrm{\angle} QAR = 90 ^\circ$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ ^{2}}} + \overline{AR ^{2}} = \overline{RQ ^{2}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AR}} = \sqrt{4 ^{2} - ( \sqrt{6} ) ^{2}} = \sqrt{10}$ $\displaystyle \therefore S = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \sqrt{6} = \sqrt{15}$ $\therefore S ^{2} = 15$ [다른 풀이]

평면 $\mathrm{PQR}$은 원 C의 지름 $\mathrm{PQ}$를 지나고 평면 $\alpha$에 수직이므로 구를 이등분한다. 그러므로 평면 $\mathrm{PQR}$과 구의 교선은 구의 중심$\mathrm{O}$를 중심으로 하는 대원이다. 그런데 $\mathrm{\angle} QPR = 90 ^{\circ}$이므로 선분 $\mathrm{QR}$은 이 대원의 지름 즉, 구의 지름이다. 선분 $\mathrm{OM}$의 길이는 점 $\mathrm{O}$에서 평면 $\displaystyle y - \sqrt{3} z - 2 = 0$ 까지의 거리이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} = \frac{\left| - 2 \right|}{\sqrt{0 ^{2} + 1 ^{2} + ( - \sqrt{3}} ) ^{2}} = 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QM}} = \sqrt{\overline{OQ} ^{2} - \overline{OM} ^{2}} = \sqrt{2 ^{2} - 1 ^{2}} = \sqrt{3}$ $\mathrm{\triangle} APQ$는 직각이등변 삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = \overline{QM} = \overline{AM} = \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\therefore} \overline{AP} = \overline{AQ} = \sqrt{2} \sqrt{3} = \sqrt{6}$ 그리고 $\displaystyle \mathrm{\overline{RP}} = 2 \overline{OM} = 2$ 직선 $\mathrm{RP} \perp \alpha$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{RP}} \perp \overline{AP}$ $\displaystyle \mathrm{\therefore} \overline{AR} = \sqrt{\overline{RP} ^{2} + \overline{AP} ^{2}} = \sqrt{2 ^{2} + ( \sqrt{6} ) ^{2}} = \sqrt{10}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} ^{2} + \overline{AR} ^{2} = \overline{QR} ^{2}$이므로 $\mathrm{\angle} QAR = 90 ^{\circ}$ $\displaystyle \therefore s = \mathrm{\triangle} AQR = \frac{1}{2} \overline{AP} \cdot \overline{AR} = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{10} = \sqrt{15}$ $\therefore s ^{2} = 15$